Nextranks

Tropska Interpolacija

Frank Sottile 9. oktober 2004, College Station, Teksas. Vsakdo ve, da sta dve točki ugotoviti linijo, in veliko ljudi, ki so preučevali geometrijo vedeli, da pet točk v ravnini določi conic. Na splošno, če imate m naključnih točk v ravnini in želite prenesti racionalne krivulje d stopinj skozi vse od njih, morda ni rešitev za ta problem interpolacijo (če je prevelika m), ali pa neskončno število rešitve (če je premajhen m), ali končno število rešitev (če je m ravno prav). Izkazalo se je, da `` m ravno prav'' pomeni, m = 3d-1 (m = 2 za proge in m = 5 za conics). Vprašanje je težje, če je m = 3d-1, koliko racionalne krivulje stopnje d interpolacijo točke,? Recimo to številko Nd, da N1 in N2 = 1 = 1, saj so linije in conic iz prejšnjega odstavka edinstvena. Že dolgo je znano, da N3 = 12, in leta 1873 Zeuthen [Ze] je pokazala, da N4 = 620. To je, če zadeve znašala do približno 10 let nazaj, ko Kontsevich in Manin [KM] uporablja asociativnost v cohomology kvantne da elegantno rekurzijo za to številko. Raziskovalne teme v zimskem semestru 2004 MSRI o topološki vidik Real Algebraic Geometry vključeni zaporeden resnično algebraično geometrijo, tropski geometrijo, prave krivulje gladke in aplikacije realnega algebraic geometry. Vsi so tkani skupaj v razvijajoči se zgodba o tem interpolacijskega problema, prototip problem zaporeden geometrije, ki je umetnost štetje geometrijskih likov, določene z danimi pogoji pojavnostjo. Tu je še en problem: koliko črte v prostoru izpolnjevati štiri dane vrstice? Za odgovor na to, upoštevajte, da se tri proge leži na edinstveni dvojno odločilo hyperboloid.   Te tri vrste ležijo v eni odločbe in 2. Odločitev je sestavljena iz linij, ki izpolnjujejo dane tri vrstice. Ker je hyperboloid določena s kvadratno enačbo, bo v četrti vrstici ga zaseda dve točki. Z vsako od teh dveh točk, je črta v drugem odločanje, in to sta dve vrstici, ki izpolnjujejo naše 4 posredovanih linije. Zaporeden geometrije najbolje deluje v kompleksnih števil, kot je število dejanskih številk odvisna bolj prefinjeno od konfiguracije podatkov, ki dajejo vpadnostnih pogoje. Na primer, četrta vrstica izpolnjuje hyperboloid v dveh pravih mestih ali v dveh kompleksnih konjugiranih točk, tako da so bodisi 2 ali brez prave linije, ki izpolnjujejo vse štiri. Na podlagi številnih primerov, ki smo jih pričakujejo, da lahko vsako specifikacijo problem imel vse svoje rešitve, se pravi [tako]. Drug tak problem je 12 racionalne krivulje interpolacijo 8 točk v ravnini. Večina matematiki so seznanjeni z vozla (racionalna) kubični prikazan na levi strani spodaj. Obstaja pa še ena vrsta resnično racionalno kubičnih, ki je prikazan na desni strani. V drugem zavoju, dve kompleksni konjugata podružnice se sestane na osamljenem mestu. Če pustimo N (t) je število pravih zavojih tipa t interpolacijo 8 danih točk, nato pa Kharlamov in Degtyarev [DK] je pokazala, da

N() - N() = 8 .

Tukaj je opis njihovih osnovnih topoloških metod. Ker obstaja največ 12 takih krivulje, N() +N() \leq 12, in tako je 8, 10 ali 12 pravi racionalni cubics interpolacijo 8 prave točke v ravnini, odvisno od števila (0, 1 ali 2), cubics z osamljenem mestu. Tako bo 12 pravi racionalni cubics interpolacijo vse 8 od 9 sečišča obeh spodnjih cubics Welschinger [W], ki je bil MSRI Podoktorski zadnja zima, razvil ta primer v teoriji. Na splošno so singularnosti pravi racionalni C ravnine krivulje so vozlišča ali izoliranih točk.Pariteta število vozlišč je njegova prijava s (C), ki je bodisi 1 ali -1. Glede na to, 3d-1 realni točk v ravnini, šteje Welschinger absolutno vrednost količine

s(C) ,

Znesek nad vsem resnično racionalno krivulje C stopinj D, ki interpolira točke. Pokazal je, da je to ponderiran seštevek ni odvisna od izbire točke. Napišite WD za to invariantna za Welschinger. Na primer, pravkar smo videli, da W3 = 8. To je preboj, saj je bila Wd (skoraj) prvi resnično netrivialne invariant v realnem zaporeden algebraic geometry. Upoštevajte, da je Wd spodnjo mejo za število dejanskih racionalnih krivulj skozi 3d-1 dejanskih točk v ravnini, in WD \ Leq SD. Mikhalkin, ki je bil organizator semestra, če tipko za računalništvo Dd s tropsko algebraično geometrijo [Mi]. To je geometrija tropskega semiring, kjer je poslovanje max in + na realnih števil namesto običajnih poslov + in razmnoževanje.Tropski polinom je odsekoma linearna funkcija oblike

T(x,y) = max(i,j) {x i + y j + ci,j} ,

če je izračun z običajnimi aritmetičnih operacij in največja prevzame končno podskupini Z2 od zastopnikov T in ci, j so realne številke koeficienti T. tropski polinomska T opredeljuje tropski krivuljo, ki je niz točki (x, y), kjer je T (x, y) ni odvedljiva. Tu so nekatere tropske krivulje.

Stopnja tropski krivulje je število žarkov težijo k neskončnosti v eno od treh smeri zahod, jug, vzhod in Severno. Tropski krivulja je racionalno, če je odsekoma linearna potopitev drevesa. Vozlišča so valenco 4. Mikhalkin je pokazala, da obstaja le finitely veliko tropskih racionalne krivulje stopnje d interpolacijo 3d-1 generičnih točk. Medtem ko je število teh krivulj pa je odvisna od izbire točk, Mikhalkin priložene pozitivne multiplicities za vsako tropskega krivuljo tako, da ponderirana vsota ne, in je v bistvu enaka Nd. Prav tako zmanjša te multiplicities ter prešteti tropskih krivulj v kombinatoriki za rešetke poti v trikotniku s stranico dolžine d. Mikhalkin uporabili korespondenco, ki vključuje karto Prijava: (C *) 2 -> R2 je opredeljeno v (x, y) | -> (log | x |, dnevnik | y |), in nekatere 'velik kompleks meja "iz kompleksna struktura v (C *) 2. Na podlagi tega velikega kompleksa meje racionalne krivulje stopnje d interpolacijo 3d-1 točke (C *) 2 deformirati do `kompleksu tropski krivulj", katerih podobe v Logu so navadne tropski krivulje interpolacijo slike točk. Različna tropski krivulje T je število kompleksnih tropskih krivulj, ki sega do T. Kaj pa realno krivulj? Po tem dopisovanju Mikhalkin priloženo pravo množico v vsakem zavoju in tropskega je pokazala, da če tropski krivulje interpolacijo določenem 3d-1 točke imajo skupno pravo množico N, nato pa so 3d-1 realne točke, ki so interpolirane po realnih racionalnih krivuljah N Stopnja d. Ta pravi množica je ponovno izražena v rešetke poti. Kaj je invariantna Welschinger? Na enak način, Mikhalkin priloženo podpisano težo posameznih vrst tropskega krivulje (tropski različica znaka za Welschinger) in je pokazala, da ustreza tehtana vsota enaka invariant Welschinger je. Tako kot prej, se lahko ta tropski podpisala teža izražena v rešetke poti. Med semestrom na MSRI, Itenberg, Kharlamov in Shustin [IKS] uporabljajo rezultati Mikhalkin za oceno invariant Welschinger je. Pokazali so, da Wd\geq d!/3, in tudi

log Wd = log Nd + O(d), log Nd = 3d logd + O(d) .

Tako vsaj logaritmično, najbolj racionalne krivulje stopnje d interpolacijo 3d-1 resnične točk v ravnini so resnične. Obstajata še dve drugi primeri tega pojava nižje meje, prvi, ki je nastal na delo Welschinger. Denimo, da je še d in pustite W (ov) je pravi polinom stopnje k dk (1). Potem Eremenko in Gabrielov [EG], je pokazala, da obstajajo realne polinomi f1 (s), ..., FK (i) d stopnje katerih Wronski dejavnik pa je W (e). Dejstvo je, da dokaže spodnja meja glede števila k-n-teric iz polinomov, do enakovrednost. Podobno je pri MSRI, Soprunova in I [SS] je raziskoval Določila sistemov polinom, povezana z posets, ki kaže, da je bilo število pravih rešitev omejujejo spodaj z znakom-neravnovesje v poset. Takšne spodnje meje za zaporeden težav, kar pomeni, da obstaja realno rešitev, ki so pomembni za uporabo. Na primer, je bila ta zgodba pripoveduje več piva nekega večera na delavnici MSRI za geometrijsko modeliranje in Real algebrske geometrije v aprilu 2004.Udeleženec, Schicho, ugotovil, da je rezultat W3 = 8 za cubics pojasnila, zakaj metoda, ga je vedno razvit zdelo, da dela. To je algoritem za izračun približen parametrizacijo v loku ovinka, prek resnično racionalno kubični interpolacijski 8 točk na loku. To pa je bilo treba najti pogoje, ki zagotavlja obstoj rešitev, ki je blizu loku. To je le rešiti z Fiedler-Le Touzé, MSRI Podoktorski ki je študiral cubics (ne nujno racionalno) interpolacijo 8 točk za pomoč razvrstiti prave krivulje ravnino stopnje 9. Bibliografija [DK] AI Degtyarev in VM Kharlamov, Topološki lastnosti realnih algebrski sort: Rokhlin način je, Uspehi Mat. Nauk 55 (2000), št. 4 (334), 129-212. [EG] A. Eremenko in A. Gabrielov, Stopnje realne kart Wronski, Diskretna Comput. Geom. 28 (2002), št. 3, 331-347. [IKS] I. Itenberg, V. Kharlamov, in E. Shustin, logaritmični enakovrednost Welschinger in Gromov, Witten invariante, arXiv: math.AG/0407188. [KM] M. Kontsevich in Yu. Manin, Gromov, Witten razredi, kvantna cohomology in zaporeden geometrijo, Comm. Math. Phys. 164 (1994), št. 3, 525-562. [Mi] G. Mikhalkin, zaporeden tropski algebraična geometrija v R2, arXiv: math.AG/0312530. [SS] E. Soprunova in F. Sottile, spodnja meja za resničnih rešitev za skopi Systems polinom, arXiv: math.AG/0409504. [Zato] F. Sottile, zaporeden realna algebraična geometrija, Algoritmična in kvantitativno realna algebraična geometrija (Piscataway, NJ, 2001), DIMACS Zap. Diskretna matematika. Theoret. Comput. Sci., Vol. 60, Amer. Math. . Soc, Providence, RI, 2003, pp 139-179. [W] J.-Y. Welschinger, invariante resnično racionalno simplektične 4-mnogoterosti in spodnja meja v realnem zaporeden geometrije, CR Math. Akad. Sci. Pariz 336 (2003), št. 4, 341-344. [Ze] HG Zeuthen, Almindelige Egenskaber ved Systemer af letalo Kurver, Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, Naturvidenskabelig og Mathematisk, AFD. 10 Bd. IV (1873), 286-393. Mi hvaležno zahvalil našim urejevalnikom, Silvio dajatve in MSRI članov, katerih delo smo opisali. S podporo National Science Foundation kariero subvencije DMS-0134860-9810361 in DMS (financiranje MSRI) in Clay Mathematical Institute.   Prevedeno iz http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html Domača stran
...